Polinômio - Conceitos

   POLINÔMIOS 

Uma função polinomial ou simplesmente polinômio, é toda função definida pela relação  

P(x)=a_nxⁿ + a_n-1.x^n-1 + a_n-2.x^n-2 + ... + a₂x² + a₁x + a₀. 

Onde:

a_n, a_n-1, a_n-2, ..., a₂, a₁, a₀ são números reais chamados coeficientes, com n  ∈ IN. E x ∈ C (n^os complexos) é a variável.

Se a equação fosse P(y) teríamos que a variável é y, se fosse P(k) a variável seria k... 

GRAU DE UM POLINÔMIO:

Grau de um polinômio é o expoente máximo que ele possui. Se o coeficiente a_n ≠ 0, então o expoente máximo n é dito grau do polinômio e indicamos gr(P)=n. 

Exemplos:

a)     P(x)=5 ou P(x)=5.x⁰ é um polinômio constante, ou seja, gr(P)=0.

b)    P(x)=3x+5 é um polinômio do 1º grau, isto é, gr(P)=1.

c)     P(x)=4x⁵+7x⁴ é um polinômio do 5º grau, ou seja, gr(P)=5.

Obs: Se P(x)=0, não se define o grau do polinômio. E o chamamos de polinômio identicamente nulo, isto é todos os seus coeficientes são nulos (zero).

VALOR NUMÉRICO:

O valor numérico de um polinômio P(x) para x = b, é o número que se obtém substituindo x por b e efetuando todas as operações indicadas pela relação que define o polinômio. 

Exemplo:

Se P(x)=x³+2x²+x-4, o valor numérico de P(x), para x=2, é:

P(x)= x³+2x²+x-4

P(2)= 2³+2.2²+2-4

P(2)= 14

Observação: Se P(a)=0, o número a chamado raiz ou zero de P(x).

Por exemplo, no polinômio P(x) = x² - 3x + 2 temos P(1) = 0; logo, 1 é raiz ou zero desse polinômio.

POLINÔMIOS IGUAIS

Dizemos que dois polinômios A(x) e B(x) são iguais ou idênticos (e indicamos A(x) = B(x)) quando assumem valores numéricos iguais para qualquer valor comum atribuído à variável x. A condição para que dois polinômios sejam iguais ou idênticos é que os coeficientes dos termos correspondentes sejam iguais.

Por exemplo:

A(x) = 2x² + 4

B(x) = mx² + nx + c

Para que A(x) = B(x) teremos que ter: m = 2, n = 0 e c = 4. Assim B(x) = 2x² + 0x + 4 = 2x² + 4 = A(x).

Exercícios Resolvidos:

1º) Sabendo-se que –3 é raiz de P(x)=x³ + 4x² - ax + 1, calcular o valor de a.

Resolução: Se –3 é raiz de P(x), então P(-3) = 0.

P(-3)=0  => (-3)³ + 4(-3)² - a.(-3) + 1 = 0

3a = -10  =>  a=-10/3

Resposta: a=-10/3

2º) Calcular m ∈ IR para que o polinômio P(x) = (m²-1)x³ + (m+1)x² - x + 4 seja:

a) do 3ºgrau               b) do 2º grau                 

Resposta:

a)    para o polinômio ser do 3º grau, os coeficientes de x² e x³ devem ser diferentes de zero. Então:

m²-1  ≠ 0  =>  m²  ≠1  => m  ≠ 1 ou m  ≠ -1.

b)    para o polinômio ser do 2º grau, o coeficiente de x³ deve ser igual a zero e o coeficiente de x² diferente de zero. Então:

m² - 1 = 0  =>  m² = 1  => m = ±1

m + 1 ≠ 0  => m  ≠ -1

Portanto, o polinômio é do 2º grau se m=1.

Operações com Polinômios  

As operações de adição, subtração e multiplicação de polinômios são estudadas no ensino fundamental, em expressões algébricas.   
- Adição: a soma de dois polinômios é dada pela soma algébrica dos coeficientes dos termos semelhantes dos dois polinômios; 
- Subtração: a diferença entre dois polinômios 𝑝 e 𝑞 é dada pela soma de 𝑝 com o oposto de 𝑞, ou seja, 𝑝 − 𝑞 = 𝑝 + (−𝑞), isto é é dada pela subtração algébrica dos coeficientes dos termos semelhantes dos dois polinômios;
- Multiplicação: o produto de dois polinômios é obtido pela aplicação da propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição;
- Multiplicação por uma constante: na multiplicação de polinômio por um número constante, multiplicamos cada termo do polinômio por esse número constante (distributiva). 
- Divisão: Efetuar a divisão entre dois polinômios 𝑓(𝑥) e 𝑔(𝑥) é determinar outros dois polinômios, 𝑞(𝑥) e 𝑟(𝑥) tais que:  1. f(x) = g(x).q(x) + r(x) 2. grau de 𝑟 < 𝑔𝑟𝑎𝑢 𝑑𝑒 𝑔 ou 𝑟 𝑥) = 0 .  Denota-se: 𝑓(𝑥) é o dividendo; 𝑔(𝑥) é o divisor ; 𝑞(𝑥) é o quociente; 𝑟(𝑥) é o resto.

        - Método da Chave (Divisão): Consiste num modo de dividir polinômios baseado no método usado para números naturais. É uma técnica geral e enunciaremos da seguinte forma:

1º passo: dividimos o termo de maior grau do dividendo pelo termo de maior grau do divisor, obtendo dessa forma o 1º termo do quociente;

2º passo: multiplicamos o monômio obtido no passo 1º pelo divisor e, subtraímos o resultado do dividendo, obtendo assim um resto parcial;

3º passo: repetimos os dois processos anteriores com o resto parcial até que o grau do resto se torne menor que o grau do divisor.

Exemplos:
1. Sejam os polinômios 𝑝 (x) = 2𝑥² + 𝑥 e 𝑞(x) = 𝑥³ − 𝑥² + 1, assim:
i) p(x) + q(x) = (2x² + x) + (x³ - x² + 1) = (x³) + (2x² - x²) + (1) = x³ + (2-1)x² + 1 = x³ + x² + 1 ii) p(x) - q(x) = (2x² + x) - (x³ - x² + 1) = (-x³) + (2x² - (-x²)) + (-1) = -x³ + (2x² + x²) - 1 = -x³ + (2+1)x² - 1 = -x³ + 3x² - 1 iii) 3.P(x) = 3(2x² + x) = 3.2x² + 3.x = 6x² + 3x