Trigonometria no Triângulo Retângulo e em Triângulos Quaisquer

Definição de Triângulo Retângulo

É classificado como Triângulo Retângulo todo triângulo que possui um ângulo interno reto, ou seja, 90º.

Note que todo triângulo retângulo possui, além do ângulo reto, dois ângulos que são agudos e complementares entre si, já que a soma interna é 180º.

Teorema de Pitágoras

Pode-se provar que em todo triângulo retângulo a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa. Da figura acima, temos:

a² = b² + c²

Exemplo

Abaixo temos o triângulo retângulo , note que suas medidas satisfazem o teorema de Pitágoras:

Seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo

Define-se as principais razões trigonométricas para um ângulo agudo de um triângulo retângulo como segue:

Logo, pela definição dada, as razões seno, cosseno e tangente para α são (do exemplo anterior):

Ângulos Notáveis

Através de um triângulo retângulo e de um quadrado podemos obter o sen, cos e tg dos ângulos 30º, 45º e 60º:

Triângulos Quaisquer

Estenderemos os estudos para triângulos quaisquer e para isso vale as relações a seguir para ângulos obtusos:

Lei dos Senos

Em um triângulo qualquer as medidas dos lados são proporcionais aos senos dos ângulos opostos.

Lei dos Cossenos

Em um triângulo qualquer, o quadrado da medida de um lado é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados, menos duas vezes o produto das medidas desses dois lados pelo cosseno do ângulo formado por eles.

Teorema da Área

Demonstra-se que em qualquer triângulo, a área é igual ao semi-produto de dois de seus lados multiplicado pelo seno do ângulo formado entre eles.

Relações Fundamentais

Há diversas relações fundamentais entre as razões vistas, segue abaixo duas das mais simples. Para um ângulo qualquer, provam-se as identidades:

Exercícios Resolvidos

1. Determine x nos triângulos abaixo:

2. Calcule a área do seguinte triângulo:

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