Divisibilidade

01. MÚLTIPLOS E DIVISORES

          Sejam a e b dois números naturais. Se o resto da divisão de a por b for zero, isto é, se a divisão de a por b for exata, diz-se que a é divisível por b (ou que a é múltiplo de b). Nesse caso, diz-se ainda que b divide a.

A notação b | a indica que b divide a.

EXEMPLOS

E.1) 2 | 6 ⇔ 6 é divisível por 2, pois: 6 : 2 = 3

E.2) 3 | 15, 3 | 27 e 3 | 42 ⇔ 15, 27 e 42 são divisíveis por 3, pois: 15 : 3 = 5 , 27 : 3 = 9 e 42 : 3 = 14.

E.3) 6 é divisível por 1, 2, 3 e 6. Indicando-se o conjunto dos divisores de 6 por D(6), temos:

D(6) = {1, 2, 3, 6}

E.4) O zero é múltiplo de qualquer número.

          O conjunto M(a) dos múltiplos de um número a é o conjunto dos naturais vezes a. E o conjunto D(a) dos divisores de a é o conjunto dos naturais que dividem a. Assim:

M(2) = {0, 2,4, 6, 8, 10,...}                D(2) = {1, 2}

M(3) = {0, 3, 6, 9, 12, 15,...}           D(3) = {1, 3}

   M(4) = {0, 4, 8, 12, 16,...}              D(4) = {1, 2,4}

    M(6) = {0,6,12,18,...}                        D(6) = {1,2,3,6}

02. NÚMEROS PRIMOS

          Um número, com exceção do número 1, é primo quando é divisível somente por ele mesmo e pela unidade.

          Vamos escrever alguns números naturais em ordem crescente a partir de 2. Destaquemos o 2 e risquemos todos os múltiplos dele que surgem em seguida. Destaquemos o 3 e risquemos todos os múltiplos dele que surgem em seguida. Destaquemos o 5 e risquemos todos múltiplos dele que surgem em seguida etc.

          Neste artigo buscamos os números primos até 50, confira clicando aqui.

          O conjunto P dos números primos é infinito e não existe nenhuma lei de formação para esses números:

P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,29, 31,...}

         Note que o 2 é o único número par que é primo.

         Um número que admite outros divisores além da unidade e dele próprio é chamado número múltiplo ou número composto. Os números riscados dentre os acima são compostos.

03. REGRAS DE DIVISIBILIDADE

Um número é divisível por:

• 2, quando o último algarismo da direita for 0,2, 4, 6 ou 8, isto é, quando o número for par.

EXEMPLOS

30, 86, 104 são números divisíveis por 2.

• 3, quando a soma dos algarismos que o representam formar um número divisível por 3.

EXEMPLOS

45 é divisível por 3, pois 4 + 5 = 9 (9 é divisível por 3);

8022 é divisível por 3, pois 8 + 0 + 2 + 2 = 12 (12 é divisível por 3).

• 4, quando o número expresso pelo agrupamento dos dois últimos algarismos da direita de sua representação é divisível por 4.

EXEMPLOS

124 é divisível por 4, pois 24 também o é;

38408 é divisível por 4, pois 08 = 8 também o é;

300 é divisível por 4, pois 00 = 0 também o é.

• 5, quando o último algarismo da direita for 0 ou 5.

EXEMPLOS

820 é divisível por 5, pois termina em 0;

3475 é divisível por 5, pois termina em 5.

• 6, quando for divisível ao mesmo tempo por 2 e por 3, ou seja quando o último algarismo for 0, 2, 4, 6 ou 8 e a soma dos seus algarismos for divisível por 3.

EXEMPLOS

24 é divisível por 6, pois é divisível por 2 e por 3;

1350 é divisível por 6, pois é divisível por 2 e por 3.

• 8, quando o número expresso pelo agrupamento dos três últimos algarismos da direita de sua representação é divisível por 8.

EXEMPLOS

34024 é divisível por 8, pois 024 também o é;

3000 é divisível por 8, pois 000 também o é.

• 9, quando a soma dos algarismos de sua representação formar um número divisível por 9.

EXEMPLOS

45 é divisível por 9, pois 4 + 5 = 9 (9 é divisível por 9);

843750 é divisível por 9, pois 8 + 4 + 3 + 7 + 5 + 0 = 27 (27 é divisível por 9).

• 10, quando terminar em 0.

EXEMPLOS

350 é divisível por 10;

4800 é divisível por 10.

         Existem regras para os demais números, porém são trabalhosas demais ou não realizamos a conta tão frequentemente quanto com os números das regras acima.

04. DECOMPOSIÇÃO DE UM NÚMERO EM FATORES PRIMOS

4.1. TODO NÚMERO NATURAL MAIOR QUE 1 OU É PRIMO OU PODE SER DECOMPOSTO NUM ÚNICO PRODUTO DE FATORES PRIMOS.

EXEMPLO

        Vamos decompor 90 em fatores primos. Aplicando as regras da divisibilidade, temos:

         Pode-se observar melhor no dispositivo prático que para decompor um número em seus fatores primos é mais simples se fazer divisões sucessivas tomando os fatores primos em ordem crescente.

4.2. CONJUNTO DOS DIVISORES DE UM NÚMERO

         Dado um número natural n, os seus divisores são determinados decompondo-se n em seus fatores primos, e, em seguida, combinando esses fatores um a um, dois a dois etc.

             Vamos obter o conjunto dos divisores de 42 e 504.

           Existe, ainda, o número 1, que é divisor de qualquer número.

           Assim, o conjunto D(42) dos divisores de 42 é: D(42) = {1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42}.

DISPOSITIVO PRÁTICO

Observação: Demonstra-se que o número de divisores naturais de um número pode ser dado somando-se 1 a cada expoente das potências dos fatores primos e, em seguida, multiplicando esses novos ex-poentes.

Por exemplo:

42 = 2¹ ⋅ 3¹ ⋅ 7¹ tem (1 + 1) ⋅ (1 + 1) ⋅ (1 + 1) = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 8 divisores.

504 = 2³ ⋅ 3² ⋅ 7¹ tem (3 + 1) ⋅ (2 + 1) ⋅ (1 + 1) = 4 ⋅ 3 ⋅ 2 = 24 divisores.

Genericamente, o número:

a^m ⋅ bⁿ ⋅ c^p ⋅ ... tem (m + 1) ⋅ (n + 1) ⋅ (p + 1) ... divisores naturais.

05. MÁXIMO DIVISOR COMUM (m.d.c)

         Consideremos os conjuntos dos divisores de 24 e 30.

         D(24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}

        D(30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30} e achemos a interseção desses conjuntos: D(24) ∩ D(30) = {1, 2, 3, 6}.

       Observamos que esse conjunto tem um máximo que é 6. Como os elementos de D(24) ∩ D(30) são os divisores comuns a 24 e 30, dizemos que 6 é o máximo divisor comum entre 24 e 30.

         Indica-se m.d.c (24, 30) = 6.

        Portanto:

“O máximo divisor comum entre dois ou mais números é o maior elemento da interseção dos conjuntos dos divisores dos números dados.”

        Dois ou mais números são primos entre si quando o m.d.c desses números é 1.

        EXEMPLOS

E.1) Os números 5 e 6 são primos entre si, pois:

D(5) = {1,5} D(6) = {1, 2, 3, 6}

D(5) ∩ D(6) = {1} ⇒ m.d.c (5, 6) = 1

E.2) Os números 15, 26 e 49 são primos entre si, pois:

D(15) = {1, 3, 5, 15}         D(49) = {1, 7, 49}         D(26) = {1, 2, 13, 26}

D(15) ∩ D(26) ∩ D(49) = {1} ⇒ m.d.c (15, 26, 49) = 1

06. MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (m.m.c.)

         Já vimos que um número natural a é múltiplo do número natural não nulo, b quando a é divisível por b.

           O zero é múltiplo de qualquer número.

           Definimos:

M(a) = {0, a, 2a, 3a, 4a, 5a, ...}

           Particularmente, o conjunto dos múltiplos de 0 é unitário, ou seja, M(0) = {0}.

          Consideremos os conjuntos dos múltiplos de 4 e 6.

M(4) = {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, ...}

M(6) = {0, 6,12, 18, 24, 30, 36, ...} 

         Achemos a interseção desses conjuntos. M(4) ∩ M (6) = {0, 12, 24, 36, ...}.

        Observamos que esse conjunto tem um mínimo, diferente de zero, que é 12. Como os elementos de M(4) ∩ M(6) são múltiplos comuns a 4 e 6, dizemos que 12 é o mínimo múltiplo comum entre 4 e 6.

Indica-se m.m.c. (4,6) = 12.

         Portanto:

“O mínimo múltiplo comum entre dois ou mais números é o menor elemento, diferente de zero, da interseção dos conjuntos dos múltiplos dos números dados.”

07. MÉTODO PRÁTICO PARA SE OBTER O M.D.C. E O M.M.C. ENTRE DOIS OU MAIS NÚMEROS

Decompõem-se os números em fatores primos. Feito isso:

• o m.d.c. será o produto dos fatores primos comuns, tomando cada um com o menor expoente.
• o m.m.c. será o produto dos fatores primos comuns e não comuns, tomando cada um com o maior expoente.

EXEMPLOS

E.1) Vamos obter m.d.c e m.m.c entre 84 e 360.

Portanto:

m.d.c (84, 360) = 2² ⋅ 3 = 12

m.m.c (84, 360) = 2³ ⋅ 3² ⋅ 7 ⋅ 5 = 2520

E.2) Sejam A = 2² ⋅ 3^m ⋅ 5³ e B = 3¹ ⋅ 5ⁿ ⋅ 7. Vamos calcular m e n, sabendo que o m.m.c (A, B) = 157500.

Ora, m.m.c (A, B) = 157500 = 22 ⋅ 32 ⋅ 54 ⋅ 71; logo, m = 2 e n = 4.

08. PROPRIEDADES DO M.D.C. E DO M.M.C. ENTRE DOIS NÚMEROS

P.1) Se x é múltiplo de a e x é múltiplo de b, então x é múltiplo do m.m.c. (a; b).

EXEMPLOS

E.1) Se um número é múltiplo de 2 e 3, então é múltiplo de 6 (m.m.c (2; 3))
E.2) Se um número é múltiplo de 4 e 6, então é múltiplo de 12 (m.m.c (4; 6))

P.2) Se x é divisor de a e x é divisor de b, então x é divisor do m.d.c (a; b)

EXEMPLOS

E.1) Se um número é divisor de 30 e 45, então é divisor de 15.

Simbolicamente, podemos dizer:

M(a) ∩ M(b) = M (m.m.c (a; b))

D(a) ∩ D(b) = D (m.d.c (a; b))

P.3) Sejam a e b dois números naturais. O produto a ⋅ b é igual ao produto do m.d.c pelo m.m.c. desses números. Isto é:

a ⋅ b = m.d.c. (a, b) ⋅ m.m.c. (a; b)

a = 2³ ⋅ 3² ⋅ 5⁴ e b = 2 ⋅ 33 ⋅ 7

EXEMPLO

P.1) 

          Portanto, a ⋅ b = m.d.c. (a, b) ⋅ m.m.c. (a, b).

         Para exercitar seus conhecimentos confira a lista sobre divisibilidade, clicando aqui!