Introdução aos Números Complexos

   

   
     Neste artigo vamos falar sobre par ordenado, forma algébrica e características dos números complexos.Nos próximos continuaremos o assunto.

1. Conjunto dos números complexos

1.1. Par ordenado

          Dados dois pares ordenados, (a,b) e (c,d), do produto cartesiano,em que R é o conjunto dos números reais: [tex2]\mathbb{R}x\mathbb{R}=\{(x,y);x\mathrm{\ }\in \mathbb{R}\mathrm{\ }e\ y\in \mathbb{R}\mathrm{\}}\mathrm{\ }\mathrm{\ } [/tex2]

        Podemos definir:

Igualdade de pares ordenados: dois pares ordenados ( a , b ) e ( c , d ) são iguais se, e somente se, a = c e b = d.

Adição de pares ordenados: a soma de dois pares ordenados ( a , b ) + ( c , d ) é igual ao par ordenado ( a + c , b + d ).

Multiplicação de pares ordenados: o produto de dois pares ordenados ( a , b ) ∙ ( c , d ) é igual ao par ordenado ( ac – bd , ad + bc ).

      Considerando as definições acima, chamamos de conjunto dos números complexos [tex]\mathbb{C}[/tex] ao conjunto de todos os pares ordenados de números reais, para os quais essas definições são válidas.

Exercícios Resolvidos:

1. Determine a , b ∈ [tex]\mathbb{R}[/tex] tais que tornem as sentenças verdadeiras.
( a , 5 ) = ( - 4 , b ) b) (2a , 3b + 1 ) = ( 1 , 9 – b)

Resolução:

Para dois pares ordenados serem iguais as entradas correspondentes precisam ser iguais.
a = - 4 b = 5
2a = 1 →  a = 1/2 3b + 1 = 9 – b      →      3b + b = 9 – 1      →      4b = 8        →      b = 2

Resposta: a) a = -4 e b = 5;  b) a = 1/2 e b = 2.

      2. Forma algébrica

2.1. Número reais

        Sejam m e n números reais quaisquer. Temos:

• ( m , 0 ) = ( n , 0 ) se, e somente se, m = n.

• ( m , 0 ) + ( n , 0 ) = ( m + n , 0 + 0 ) = ( m + n , 0 )

• ( m , 0 ) ∙ ( n , 0 ) = ( m ∙ n – 0 ∙ 0, m ∙ 0 + 0 ∙ n ) = ( m ∙ n , 0 )

        Notamos que nos pares ordenados em que o segundo elemento é zero, tanto a igualdade quanto a adição e a multiplicação dependem só dos primeiros elementos, que são números reais. Por isso, podemos ‘identificar’ um número ( m , 0 ) com o número real m.

2.2. Unidade Imaginária

          O número ( 0 , 1 ) é chamado unidade imaginária e é representado pela letra [tex]i[/tex].
          Perceba que:
         ( 0 , 1 )² = ( 0 , 1 ) ∙ ( 0 , 1 ) = ( 0 ∙ 0 – 1 ∙ 1 , 0 ∙ 1 + 1 ∙ 0) = ( -1 , 0 ) ou seja, representa o número real -1.
          Como ( 0 , 1 )² = -1, temos que ( 0 , 1 ) = √(-1) = [tex]i[/tex].

3. Representação algébrica

        Considere um número complexo qualquer ( a , b ). Podemos escrever da seguinte forma:

[tex]( a , b ) = ( a , 0 ) + ( 0 , b ) = \underbrace{(\ a\ ,\ 0\ )\mathrm{\ }}_{a}+ \underbrace{\mathrm{(\ b\ ,\ 0\ )\ }}_{b}\bullet \underbrace{(\ 0\ ,\ 1\ }_{i}) = a + b \bullet i[/tex]

A forma a + bi, em que a e b são números reais, é denominada forma algébrica de um número complexo z.
Em z = a + bi, destacamos:

• z é o número complexo
• a é a parte real de z
• b é a parte imaginária de z
• i é a unidade imaginária

Exemplos:

a) 1 - 2i, temos que a = 1 e b = - 2
b) 5i, temos que a = 0 e b = 5

        Assim, a definição de igualdade entre dois números complexos fica:

         Dois número complexos z₁ = a + bi e z₂ = c + di são iguais se, e somente se, suas partes reais e imaginárias forem iguais respectivamente. Ou seja:

z₁ = z₂ ⇔  a = c e b = d

         A utilização deste novo símbolo ([tex]i[/tex]) facilita determinar as raízes de equações do 2º grau quando delta é um número negativo.